在计算机科学中，时间复杂性，又称时间复杂度，算法的时间复杂度是一个函数，它定性描述该算法的运行时间。这是一个代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。使用这种方式时，时间复杂度可被称为是渐近的，亦即考察输入值大小趋近无穷时的情况。

算法的时间复杂度

度量一个程序（算法）执行时间的两种方式
[1]事后统计的方法
  这种方法可行，但是有两个问题：一是要想对设计的算法的运行性能进行测评，需要实际运行该程序；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件环境因素，这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快。
[2]事前估计的方法
通过分析某个算法的时间复杂度来判断算法更优。

时间频度

  一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，他花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
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时间频度的一些规则

[1]可以忽略常数项，例如2n+10和2n随着n变大，执行曲线无限接近，可以忽略常数。
[2]可以忽略低次项，例如2n^2^+3n+10和2n^2^随着n变大，执行曲线无限接近，可以忽略3n+10。
[3]可以忽略系数，例如5n^2^+7n和3n^2^+2n，执行曲线随着n变大重合，说明这种情况下，5和3可以忽略。

时间复杂度计算

[1]一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个赋值函数f(n)，是的当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))，称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
[2]T(n)不同，但时间复杂度可能相同。如：T(n)=n^2^+7n+6与T(n)=3n^2^+2n+2它们的T(n)不同，但时间复杂度相同，都为O(n^2^)。
[3]计算时间复杂度的方法：
用常数1代替运行时间中的所有加法常数。T(n)=3n^2^+7n+6 => T(n)=3n^2^+7n+1
修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。T(n)=3n^2^+7n+1 => T(n)=3n^2^
去除最高阶项的系数。T(n)=3n^2^ => T(n)=n^2^ => O(n^2^)

常见的时间复杂度

[1]常数阶 O(1)
[2]对数阶 O(log2n)
[3]线性阶 O(n)
[4]线性对数阶 O(nlog2n)
[5]平方阶 O(n^2^)
[6]立方阶 O(n^3^)
[7]k次方阶 O(n^k^)
[8]指数阶 O(2^n^)
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说明：
  常见的算法时间复杂度由小到大依次为:O(1)<O(log2n)<O(n)<O(nlog2n)<O(n^2^)<O(n^3^)<O(n^k^)<O(2^n^)，随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。
  从图中可见，我们应该尽可能避免指数阶的算法。

常见时间复杂度举例说明

  • 常数阶O(1)
    无论执行了多少行代码，只要是没有循环等复杂结构，这个代码的时间复杂度都是O(1)。
    1
    2
    3
    4
    5
    int i = 1;
    int j = 2;
    ++i;
    j++;
    int m = i+j;

上述代码在执行的时候，她消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。

  • 对数阶O(log2n)
    1
    2
    3
    4
    int i =1;
    while(i<n){
    	i = i * 2;
    }

说明：在while循环里面，每次都将i乘以2，乘完之后，i距离n就越来越近了。假设循环x之后，i就大于n了，此时这个循环就退出了，也就是说2的x次方等于2，那么x = log2n也就是说当循环log2n次后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n)。O(log2n)的这个2实际上是根据代码变化的，i = i * 3，则是O(log3n)。

  • 线性阶O(n)
    1
    2
    3
    4
    for(int i=1;i<=n;i++){
    	j = i;
    	j++;
    }

说明：这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度。

  • 线性对数阶O(nlog2n)
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    for(int i=1;i<n;i++){
    	m = 1;
    	while(m<n){
    		m = m*2;
    	}
    }

说明：线性对数阶O(nlog2n)其实非常容易理解，将时间复杂度为O(log2n)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是n*O(log2n)，也就是O(nlog2n)。

  • 平方阶O(n^2^)
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    for(int x = 1;x<=n;x++){
    	for(int i = 1;i<=n;i++){
    		j = 1;
    		j++;
    	}
    }

说明：平方阶O(n^2^)就更容易理解了，如果把O(n)的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是O(n^2^)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是O(nn)，即O(n^2^)如果将其中一层循环的n改成m，那么它的时间复杂度就变成了O(mn)。

  • 立方阶 O(n^3^)、k次方阶 O(n^k^)
    这个可以参考上面的平方阶O(n^2^)去理解，O(n^3^)相当于三层n循环，其它类似。

平均时间复杂度和最坏时间复杂度

[1]平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。
[2]最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法再任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。
[3]平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关（如下图）。
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算法的空间时间复杂度

[1]类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度（Space Complexity）定义为该算法所耗费的存储空间，它也是我问题规模n的函数。
[2]空间复杂度（Space Complexity）是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数于解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况。
[3]在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的是程序执行的速度。一些缓存产品（redis，memcache）和算法（基数排序）本质就是用空间换时间。